📐 中小学数学知识大全 — Toobey

70+知识点 · 17+SVG图解 · 例题精讲 · 一册通览

🔢 数与运算基础

🔢 整数四则运算

加(+) 减(−) 乘(×) 除(÷)

运算顺序：

🥇 括号内（小→中→大）
🥇 乘方、开方
🥇 乘、除（左→右）
🥇 加、减（左→右）

先乘除，后加减，有括号先算括号

例题：3+4×2 = 3+8 = 11（不是14！）
(3+4)×2 = 7×2 = 14

⚠️ 易错：3+4×2 很多人算成 7×2=14，乘法优先于加法！

➗ 分数运算

加减：通分 → 分母不变分子加减

乘法：分子×分子，分母×分母

除法：除以一个数 = 乘以倒数

📌 通分：找分母的最小公倍数作公分母
📌 约分：分子分母同除以最大公约数
📌 假分数→带分数：13/5 = 2⅗
📌 分数比较大小：通分后比分子 / 交叉相乘

例题：½+⅓ = 3/6+2/6 = 5/6 ⅓÷⅔ = ⅓×³⁄₂ = ½

% 百分数与比例

百分比 = 部分 ÷ 整体 × 100%

比例：a:b = c:d ⟹ ad = bc

折扣价 = 原价 × (1−折扣率)

利息 = 本金 × 利率 × 时间

📌 成数：一成=10%，二成五=25%
📌 涨价/降价：新价=原价×(1±变化率)
📌 年利率=利息÷本金÷年数×100%

例题：原价200元打八五折=200×0.85=170元
利率2.5%，存5000元×2年，利息=5000×0.025×2=250元

🧮 质数与合数

质数 = 只有 1 和本身两个因数

合数 = 有 3个及以上因数

100以内质数（25个）：

2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97

📌 1 既不是质数也不是合数
📌 2是唯一偶质数
📌 质因数分解：分解为质数相乘，如 60=2²×3×5

📐 GCD & LCM

GCD(a,b) = 最大公共因数

LCM(a,b) = 最小公共倍数

短除法：

  2 | 12  18        GCD=2×3=6
  3 |  6   9        LCM=2×3×2×3=36
     ─────
      2   3

💡 公式：GCD(a,b)×LCM(a,b) = a×b

🔄 小数·分数·百分数互化

分数→小数：分子÷分母

小数→分数：看小数位数，分母10/100/1000

小数→百分数：×100%

½=0.5=50% ¼=0.25=25% ¾=0.75=75% ⅓≈0.333=33.3%
⅔≈0.667=66.7% ⅛=0.125=12.5% ⅝=0.625=62.5%

➖ 负数运算

同号相加：取相同符号，绝对值相加

异号相加：取绝对值大的符号，大减小

减法：减去一个数 = 加上相反数

📌 (−)×(−)=(+) (−)×(+)=(−)
📌 数轴：左边小右边大，−5 < −2 < 0 < 3
📌 绝对值：在数轴上到原点的距离，|−3|=3

例题：(−5)+(−3)=−8 (−5)−(−3)=−2

⚡ 科学记数法与幂

a×10ⁿ (1≤a<10)

a^m×aⁿ=a^m+n a^m÷aⁿ=a^m−n

(a^m)ⁿ=a^mn

例题：3000000=3×10⁶ 0.00045=4.5×10⁻⁴
2³×2⁴=2⁷=128 10⁶÷10³=10³=1000

🔢 数与运算（续）进阶

🔢 进位制

十进制：逢十进一，每位0~9

二进制：逢二进一，每位0或1

进制转换：

二→十：1101₂ = 1×2³+1×2²+0×2¹+1×2⁰ = 13
十→二：13÷2=6余1 → 6÷2=3余0 → 3÷2=1余1 → 1÷2=0余1 → 1101₂

例题：1010₂ = 1×8+0×4+1×2+0×1 = 10

📏 整除特征

被2整除：末位偶数

被3/9整除：各位数字和是3/9的倍数

被4整除：末两位是4的倍数

被5整除：末位0或5

被11整除：奇数位和−偶数位和是11的倍数

例题：12345，各位和1+2+3+4+5=15是3的倍数，可被3整除

🧮 余数定理

被除数 = 除数 × 商 + 余数

余数 < 除数

📌 同余：a≡b(mod m) ↔ a−b能被m整除
📌 加减乘对模数保持同余：(a+b) mod m = (a mod m + b mod m) mod m

例题：17÷5 = 3余2 100÷7 = 14余2

🎯 近似数与有效数字

四舍五入法、进一法、去尾法

📌 有效数字：从左边第一个非0数字起，到末位数字止
📌 3.14159保留三位有效数字 = 3.14
📌 进一法：运货5.2车 → 6车
📌 去尾法：布匹做衣服5.8件 → 5件

📐 平面图形几何

△ 三角形

面积 = ½ah 周长 = a+b+c

🔺 分类：

按角：锐角(三角<90°) / 直角(一角=90°) / 钝角(一角>90°)
按边：等边 / 等腰 / 不等边

🔺 性质：

内角和=180°，外角=两不相邻内角之和
两边之和 > 第三边，两边之差 < 第三边
等腰：两底角相等，三线合一
等边：三个角=60°，重心/垂心/内心/外心合一
勾股定理（直角△）：a²+b²=c²，常用勾股数3-4-5、5-12-13

例题：a=6,h=4, S=½×6×4=12cm²
直角△两直角边3cm、4cm，斜边=√(3²+4²)=5cm

▭ 长方形

面积 S = ab 周长 = 2(a+b)

对角线 d = √(a²+b²)

📌 两组对边平行且相等
📌 四个直角（90°），对角线相等且互相平分

例题：长8cm宽5cm，S=40cm²，C=26cm

⬜ 正方形

面积 S = a² 周长 = 4a

对角线 d = a√2

📌 正方形 = 特殊长方形（长=宽）= 特殊菱形（角=90°）
📌 对角线互相垂直平分且相等

例题：a=6cm, S=36cm², C=24cm

⚪ 圆

S=πr² C=2πr 半圆S=πr²/2

扇形S=(n/360)πr² 弧长L=(n/360)2πr

📌 π≈3.14159… 无限不循环
📌 环形面积 = π(R²−r²)
📌 圆周角定理：同弧所对圆周角=圆心角一半

例题：r=3, S=3.14×9=28.26cm², C=2×3.14×3=18.84cm

▱ 平行四边形

面积 S = a×h 周长 = 2(a+b)

📌 对边平行且相等，对角相等，邻角互补
📌 对角线互相平分
📌 长方形、正方形、菱形都是特殊平行四边形

⏢ 梯形

面积 S = ½(a+b)h 中位线 = (a+b)/2

📌 等腰梯形：两腰相等，底角相等，对角线相等
📌 直角梯形：一条腰⊥底
📌 中位线平行于上下底

例题：上底4cm下底6cm高5cm，S=½(4+6)×5=25cm²

◇ 菱形

面积 S = ½d₁d₂ 周长 = 4a

📌 四边相等，对角线互相垂直平分
📌 每条对角线平分一组对角

⬡ 多边形

内角和 = (n−2)×180°

外角和 = 360°（恒不变）

📌 三角形n=3：180° 四边形n=4：360°
📌 五边形n=5：540° 六边形n=6：720°
📌 正n边形内角 = (n−2)×180°/n
📌 每增加一条边，内角和多180°

📐 平面图形（续）进阶

🔺 全等三角形

SSS：三边对应相等

SAS：两边及其夹角对应相等

ASA：两角及其夹边对应相等

AAS：两角及一角的对边对应相等

HL：斜边+一条直角边对应相等（只用于直角△）

➡ 全等→对应边相等、对应角相等、周长相等、面积相等

🔺 相似三角形

判定：AA（两角相等）/ SAS（两边成比例夹角相等）

相似比 = k，面积比 = k²

📌 对应角相等，对应边成比例
📌 射影定理：直角△斜边高，h²=mn（m、n为斜边两段）
📌 平行于三角形一边的直线截得的三角形与原三角形相似

例题：△ABC～△DEF，相似比2:3，面积比=4:9

🎯 三角形的"四心"

🔴 重心：三条中线的交点，分中线2:1
🔴 垂心：三条高的交点
🔴 内心：三条角平分线的交点，到三边距离相等（内切圆圆心）
🔴 外心：三边垂直平分线的交点，到三顶点距离相等（外接圆圆心）

💡 巧记：重心中线分2:1，垂心三条高交点，内心角分到三边，外心中垂到三点

⚪ 圆的性质

圆周角定理：同弧所对圆周角 = ½×圆心角

直径对直角：直径所对圆周角 = 90°

弦切角 = 所夹弧所对圆周角

圆幂定理：PA·PB = PC·PD（相交弦/割线/切线）

📌 同弧所对圆周角相等
📌 圆的切线⊥过切点的半径

📦 立体图形空间几何

🧊 正方体

V=a³ S表=6a² 体对角线=a√3

📌 6面、12棱、8顶点
📌 正方体展开图有11种（141型6种·231型3种·222型1种·33型1种）

例题：a=4cm，V=64cm³，S=96cm²

📦 长方体

V=abc S表=2(ab+bc+ac)

体对角线 = √(a²+b²+c²)

例题：6×4×3cm，V=72cm³，S=108cm²

🥫 圆柱体

V=πr²h 侧面积=2πrh（展开是长方形）

S表=2πr²+2πrh

📌 展开图：两个圆 + 长方形，长=2πr，宽=h

例题：r=3,h=8, V=3.14×9×8≈226.08cm³

🔺 圆锥体

V=⅓πr²h 母线l=√(r²+h²)

侧面积=πrl（展开是扇形）

📌 圆锥 = 同底等高圆柱的 ⅓
📌 展开：扇形半径=母线l，弧长=2πr

例题：r=3,h=4, V=⅓×3.14×9×4≈37.68cm³

⚽ 球体

V=(4/3)πr³ S表=4πr²

📌 半球 V = (2/3)πr³
📌 任何方向切面都是圆

例题：r=3, V=4/3×3.14×27≈113.04cm³

📦 立体图形（续）进阶

📐 棱柱

V=S底×h

📌 所有棱柱通用：V=底面积×高
📌 直棱柱：侧棱⊥底面

🔻 棱锥

V=⅓×S底×h

📌 棱锥体积 = 同底等高棱柱的 ⅓

📐 三视图

三个视图：

📌 主视图：从正面看
📌 俯视图：从上面看（画在正下方）
📌 左视图：从左面看（画在正右方）

💡 口诀：长对正（主俯）、高平齐（主左）、宽相等（俯左）

例题：圆柱的三视图：主视=矩形，俯视=圆，左视=矩形

🔲 展开图

正方体展开图11种：

📌 1-4-1型：6种（中间4个，上下各1个）
📌 2-3-1型：3种
📌 2-2-2型：1种（阶梯状）
📌 3-3型：1种

判断口诀：一线不过四（一行最多4个），田凹弃之（不能有田字格/凹字格）

🔄 公式变换代数

⚖️ 等式基本性质

A=B ⟹ A±C=B±C A×C=B×C (C≠0)

🔑 移项法则：加变减，减变加，乘变除，除变乘

例题：2x+3=11 → 2x=8 → x=4
3x−5=10 → 3x=15 → x=5

⚡ 速度·时间·距离

S=V×t V=S÷t t=S÷V

相遇：S总=(V₁+V₂)×t

追及：S差=(V₁−V₂)×t

例题：甲5m/s乙3m/s相对而行，100m需t=100÷8=12.5秒

🔋 工作效率

总量=效率×时间

合作效率=甲+乙

例题：甲10天乙15天单独完成，合作=1÷(1/10+1/15)=6天

🧪 浓度问题

浓度=溶质÷溶液×100%

混合浓度=(溶质₁+溶质₂)/(溶液₁+溶液₂)

例题：10%盐水100g+20%盐水200g=(10+40)/(100+200)=16.7%

💰 利润与折扣

利润=售价−成本

利润率=利润÷成本×100%

售价=成本×(1+利润率)

例题：成本80元，利润率25%，售价=80×1.25=100元

🔄 公式变换（续）进阶

📐 平方和/立方和

a²+b² = (a+b)²−2ab

a³+b³ = (a+b)(a²−ab+b²)

a³−b³ = (a−b)(a²+ab+b²)

例题：a=3,b=1,a²+b²=9+1=10，用公式：16−6=10

⚖️ 均值不等式

(a+b)/2 ≥ √(ab) (a,b>0)

当且仅当 a=b 时取等号

📌 算术平均数 ≥ 几何平均数
📌 和一定，积最大；积一定，和最小

例题：a+b=10，a=b=5时ab最大=25

🔢 代数基础代数

✖️ 乘法公式

(a±b)² = a² ± 2ab + b²

a²−b² = (a+b)(a−b)

(a+b)² = a²+2ab+b² 的几何意义

例题：(x+3)²=x²+6x+9 x²−4=(x+2)(x−2)

➗ 因式分解

提取公因式：ab+ac = a(b+c)

平方差：a²−b²=(a+b)(a−b)

十字相乘：x²+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)

💡 步骤：一提公因式 → 二看公式 → 三十字相乘 → 四检查

例题：x²−9=(x+3)(x−3) x²+5x+6=(x+2)(x+3)

⚖️ 一元一次方程

ax + b = 0 ⟹ x = −b/a

去分母→去括号→移项→合并→系数化1

去分母：乘最小公倍数
去括号：分配律
移项：含x→左，常数→右（变号！）
合并同类项 → ax=b
系数化1：x=b/a

例题：3(x−2)+8=2x+5 → 3x+2=2x+5 → x=3

🎯 一元二次方程

ax²+bx+c=0

求根：x=[−b±√(b²−4ac)]/2a

Δ=b²−4ac Δ>0两实根 / Δ=0一实根 / Δ<0无实根

💡 韦达定理：x₁+x₂=−b/a，x₁·x₂=c/a

例题：x²−5x+6=0 → x₁=3, x₂=2

📉 一次函数 y=kx+b

k>0上升 <0下降，|k|越大越陡
b = y轴截距

🔄 反比例函数 y=k/x

k>0一三象限，k<0二四象限
与坐标轴不相交

🔢 代数基础（续）进阶

📊 不等式

乘除负数：不等号方向反转

📌 3>1，×(−2)→−6<−2（反转！）
📌 解集用数轴表示

例题：−2x+6>0 → −2x>−6 → x<3

⚠️ 易错：乘除负数忘记反转不等号是最常见错误

📋 绝对值

|a| = a (a≥0) 或 −a (a<0)

|a| ≥ 0 |a−b| = a与b的距离

例题：|5|=5, |−5|=5, |x−3|<2 → 1<x<5

📐 二元一次方程组

解法一：代入法（用一个未知数表示另一个）

解法二：消元法（加减消去一个未知数）

例题：x+y=10, 2x−y=8 → 相加得3x=18, x=6, y=4

📈 二次函数 y=ax²+bx+c

顶点式：y=a(x−h)²+k 顶点(h,k)

对称轴：x = −b/2a

开口方向：a>0向上，a<0向下

例题：y=x²−4x+3 → 顶点(2,−1)，a=1开口向上

🔄 函数平移

左加右减：y=f(x) → y=f(x+a)左移a

上加下减：y=f(x) → y=f(x)+b上移b

例题：y=x²右移3单位→y=(x−3)²

📊 统计与概率应用

📊 统计量

平均数=总和÷个数

中位数=排序后中间的数

众数=出现次数最多的数

📌 平均数受极端值影响大
📌 中位数不受极端值影响

例题：2,3,5,5,7,9,10 → 平均≈5.86，中位数=5，众数=5

🎲 概率

P(A)=有利结果数÷总结果数

必然事件P=1，不可能事件P=0

P(A)+P(Ā)=1

📌 概率范围：0≤P≤1
📌 树状图法 / 列表法

例题：掷骰子得3概率=1/6，两枚硬币一正一反概率=1/2

📈 方差与标准差

方差σ²=Σ(xᵢ−x̄)²/n

标准差σ=√方差

📌 方差越大数据越分散
📌 方差越小数据越集中

📊 统计图表

📌 条形图：比较各类别数量
📌 折线图：反映数据变化趋势
📌 扇形图：展示各部分占总体的比例
📌 频数分布直方图：展示数据分布

③ 扇形图圆心角 = 百分比×360°

⚖️ 加权平均数

加权平均 = Σ(权重×数值) ÷ Σ权重

例题：期末成绩=平时20%+期中30%+期末50%
80×0.2+85×0.3+90×0.5=16+25.5+45=86.5分

🧩 经典应用题应用

🐔 鸡兔同笼

问题：头30个，脚80只，鸡兔各几？

🔑 假设法：

假设全鸡：30×2=60脚，差20脚
每换一只兔多2脚 → 兔=20÷2=10只，鸡=20只

🔑 方程法：x+y=30, 2x+4y=80 → y=10, x=20

💡 公式：兔数=(总脚数−2×头数)÷2

🌲 植树问题

🌳 两端都栽：棵数=段数+1 = 总长÷间隔+1
🌳 一端栽：棵数=段数 = 总长÷间隔
🌳 两端不栽：棵数=段数−1 = 总长÷间隔−1

例题：100m道路每5m栽一棵（两端都栽）=100÷5+1=21棵

💡 封闭图形（圆形）：棵数=总长÷间隔

🚗 相遇与追及

相遇：t=S总÷(V₁+V₂)

追及：t=S差÷(V₁−V₂)

例题：AB相距300m，甲5m/s乙3m/s相向而行
t=300÷8=37.5秒

💧 盈亏问题

📌 一盈一亏：人数=(盈+亏)÷分配差
📌 双盈：人数=(大盈−小盈)÷分配差
📌 双亏：人数=(大亏−小亏)÷分配差

例题：每人3个多8个，每人5个少4个，人数=(8+4)÷2=6人

🧩 经典应用题（续）进阶

🌊 顺水/逆水

顺速=船速+水速逆速=船速−水速

船速=(顺+逆)÷2 水速=(顺−逆)÷2

例题：顺4h走120km，逆6h走120km，船速=(30+20)/2=25km/h

🏗️ 工程问题

📌 把总量看作1
📌 效率=1/完成时间
📌 合作=1÷(1/t₁+1/t₂)

例题：甲8天乙12天，合作=1÷(1/8+1/12)=4.8天

👴 年龄问题

📌 年龄差不变
📌 年龄和随时间增长

例题：父亲40岁，儿子12岁，几年后父亲是儿子2倍？
设x年后：40+x=2(12+x) → x=16年

🕐 时钟问题

时针速度：0.5°/分，分针速度：6°/分

追及：重合时间 = 初始角度 ÷ 5.5

例题：3点后多久重合？90°÷5.5≈16.36分

🔄 周期问题

📌 找周期 → 用除法求余数
📌 余数确定位置

例题：一周=7天，第100天是星期几？
100÷7=14余2 → 如果第1天周一，第100天=周二

🎯 容斥原理

|A∪B| = |A|+|B|−|A∩B|

|A∪B∪C| = |A|+|B|+|C|−|A∩B|−|B∩C|−|A∩C|+|A∩B∩C|

例题：30人，18人喜欢数学，15人喜欢语文，10人两科都喜欢，至少喜欢一科=18+15−10=23人

📦 抽屉原理

n+1个物体放入n个抽屉 → 至少有一个抽屉有2个

📌 也叫鸽巢原理
📌 最不利原则：先保证最坏情况

例题：3种颜色袜子，至少取几只保证有一双同色？
最坏：每种取1只→取4只一定有一双

📏 常用单位 & 换算实用

📏 长度

1km=1000m 1m=10dm=100cm=1000mm

🎯 相邻单位进率10（km→m是1000）

⚖️ 重量

1t=1000kg 1kg=1000g 1斤=500g

🧪 体积/容积

1m³=1000L 1L=1dm³=1000mL 1cm³=1mL

⏰ 时间

1天=24h 1h=60min 1min=60s

1年=365天(平)/366天(闰)

📅 闰年：能被4整除不能被100整除，或能被400整除

⬜ 面积

1km²=100公顷 1公顷=10000m²

1m²=100dm² 1dm²=100cm²

🎯 角度

1周角=360° 1平角=180° 1直角=90°

1°=60'（分） 1'=60"（秒）

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🔢 数与运算 基础

🔢 整数四则运算

➗ 分数运算

% 百分数与比例

🧮 质数与合数

📐 GCD & LCM

🔄 小数·分数·百分数互化

➖ 负数运算

⚡ 科学记数法与幂

🔢 数与运算（续） 进阶

🔢 进位制

📏 整除特征

🧮 余数定理

🎯 近似数与有效数字

📐 平面图形 几何

△ 三角形

▭ 长方形

⬜ 正方形

⚪ 圆

▱ 平行四边形

⏢ 梯形

◇ 菱形

⬡ 多边形

📐 平面图形（续） 进阶

🔺 全等三角形

🔺 相似三角形

🎯 三角形的"四心"

⚪ 圆的性质

📦 立体图形 空间几何

🧊 正方体

📦 长方体

🥫 圆柱体

🔺 圆锥体

⚽ 球体

📦 立体图形（续） 进阶

📐 棱柱

🔻 棱锥

📐 三视图

🔲 展开图

🔄 公式变换 代数

⚖️ 等式基本性质

⚡ 速度·时间·距离

🔋 工作效率

🧪 浓度问题

💰 利润与折扣

🔄 公式变换（续） 进阶

📐 平方和/立方和

⚖️ 均值不等式

🔢 代数基础 代数

✖️ 乘法公式

➗ 因式分解

⚖️ 一元一次方程

🎯 一元二次方程

📉 一次函数 y=kx+b

🔄 反比例函数 y=k/x

🔢 代数基础（续） 进阶

📊 不等式

📋 绝对值

📐 二元一次方程组

📈 二次函数 y=ax²+bx+c

🔄 函数平移

📊 统计与概率 应用

📊 统计量

🎲 概率

📈 方差与标准差

📊 统计图表

⚖️ 加权平均数

🧩 经典应用题 应用

🐔 鸡兔同笼

🌲 植树问题

🚗 相遇与追及

💧 盈亏问题

🧩 经典应用题（续） 进阶

🌊 顺水/逆水

🏗️ 工程问题

👴 年龄问题

🕐 时钟问题

🔄 周期问题

🎯 容斥原理

🔢 数与运算基础

🔢 数与运算（续）进阶

📐 平面图形几何

📐 平面图形（续）进阶

📦 立体图形空间几何

📦 立体图形（续）进阶

🔄 公式变换代数

🔄 公式变换（续）进阶

🔢 代数基础代数

🔢 代数基础（续）进阶

📊 统计与概率应用

🧩 经典应用题应用

🧩 经典应用题（续）进阶

📏 常用单位 & 换算实用